Was ist eine homogene Parkettierung?
Ein Parkett ist ein Fußbodenbelag, bei dem man Muster aus gleichartigen Holzplatten bildet.
Eine Parkettierung kennzeichnet die mathematische Sichtweise: Es geht allgemein um das Problem mit geometrischen Figuren die Ebene oder einen Teilbereich der Ebene lückenlos und ohne Überlappungen auszufüllen.
Homogene Parkettierungen haben drei Eigenschaften:
(I) Die Figuren sind regelmäßige Vielecke.
(II) Die Vielecke berühren sich an den Seiten und haben gemeinsame Eckpunkte. Diese heißen Knotenpunkte.
(III) An jedem Knotenpunkt stößt die gleiche Anzahl von Vielecken zusammen.
Beispiel:
Herleitung von Formeln top
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In einem weiteren Beispiel treffen zwei gleichseitige Dreiecke und zwei regelmäßige Sechsecke in einem Knotenpunkt K aufeinander. Für die Winkel in K gilt: 360°=60°+120°+60°+120°.
Das ist ein Ansatz für das Aufspüren weiterer Vieleck-Parkettierungen.
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Dazu braucht man die Winkel in einem beliebigen regelmäßigen Vieleck.
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Für das regelmäßige Achteck gilt:
Mittelpunktswinkel: 360°/8=45°
Basiswinkel des Bestimmungsdreiecks des Achtecks: (180°-45°)/2=67,5°
Innenwinkel: 2*67.5°=135° |
Für ein beliebiges regelmäßiges m-Eck gilt:
Mittelpunktswinkel: 360°/m
Basiswinkel des Bestimmungsdreiecks des Vielecks: (180°-360°/m)/2
Innenwinkel: 180°-360°/m
Man unterscheidet vier Fälle der homogenen Parkettierung, geordnet nach der Anzahl der aneinander stoßenden Vielecke.
Fall 1: Drei Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p = 1/2
Es gibt zehn Lösungen: 3 7 42, 3 8 24, 3 9 18, 3 10 15, 3 12 12 , 4 5 20, 4 6 12, 4 8 8, 5 5 10, 6 6 6
("Unmathematisch" ermittelt mit Hilfe dreier For/Next-Schleifen mit Visual Basic)
Fall 2: Vier Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)+(180°-360°/q)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p+1/q = 1
Es gibt vier Lösungen: 3 3 4 12, 3 3 6 6, 3 4 4 6, 4 4 4 4.
Fall 3: Fünf Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)+(180°-360°/q)+(180°-360°/r)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p+1/q+1/r = 3/2
Es gibt zwei Lösungen: 3 3 3 3 6, 3 3 3 4 4.
Fall 4: Sechs Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)+(180°-360°/q)+(180°-360°/r)+(180°-360°/s)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p+1/q+1/r+1/s = 2
Es gibt eine Lösung: 3 3 3 3 3 3.
Ergebnis: Es gibt 17 Möglichkeiten, dass regelmäßige Vielecke an einer Ecke zusammenstoßen und dabei zusammen einen Winkel von 360° bilden.
Streichung von sieben Lösungen top
Hier werden alle Lösungen noch einmal aufgeführt.
3 7 42, 3 8 24, 3 9 18, 3 10 15, 3 12 12 , 4 5 20, 4 6 12, 4 8 8, 5 5 10, 6 6 6
3 3 4 12, 3 3 6 6, 3 4 4 6, 4 4 4 4
3 3 3 3 6, 3 3 3 4 4
3 3 3 3 3 3
Sieben Lösungen müssen gestrichen werden, da es zwar gelingt, mit diesen Vielecken eine oder mehrere Ecken zu bilden, nicht aber die ganze Ebene auszulegen.
Begründung: Die fünf Lösungen 3 7 42, 3 8 24, 3 9 18, 3 10 15, 4 5 20 und 5 5 10 enthalten immer mindestens ein Vieleck mit einer ungeraden und mit zwei anderen verschiedenen Seitenzahlen. Gibt man das Vieleck mit einer ungeraden Zahl vor, so müssen um diese Figur herum die beiden anderen Vielecke abwechselnd anliegen. Das ist aber nicht möglich wegen der ungeraden Anzahl von Plätzen.
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Die Lösung 5 5 10 soll auch anschaulich widerlegt werden.
Ein Parkettierungsversuch führt zunächst zu einer Rosette mit einem Zehneck (Bild).
Es müsste 5 10 10 folgen. Das ist nicht möglich.
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Die Lösung 3 3 4 12 führt auch nicht zu einer Parkettierung.
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Man geht von einem Zwölfeck aus. Es gibt vier Möglichkeiten, an das Zwölfeck Dreieck oder Quadrat anzulegen (farbig markiert). Baut man die Figuren weiter aus, so kommt man notwendigerweise in den Punkten A, B, C und D zu Widersprüchen. |
Der Widerspruch besteht darin, dass sich in einem Knotenpunkt entweder zwei Quadrate oder drei Dreiecke treffen.
Reguläre Parkettierungen top
Sieben Lösungen sind also gestrichen. Es bleiben zehn übrig.
3 7 42, 3 8 24, 3 9 18, 3 10 15, 3 12 12 , 4 5 20, 4 6 12, 4 8 8, 5 5 10, 6 6 6
3 3 4 12, 3 3 6 6, 3 4 4 6, 4 4 4 4
3 3 3 3 6, 3 3 3 4 4
3 3 3 3 3 3
Drei Lösungen (rot) sind auffällig. Man kommt mit einer Sorte regelmäßiger Vielecke aus.
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Das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck füllen die Ebene. |
Diese Parkettierungen heißen regulär.
Das ist bemerkenswert:
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Verbindet man die Mittelpunkte der Sechsecke, so ergibt sich ein Dreiecksmuster. Umgekehrt bilden die Verbindungslinien der Mittelpunkte der Dreiecke ein Sechseckmuster. Dreieck und Sechseck sind duale Figuren.
Das Quadrat ist zu sich selbst dual. |
Halbreguläre Parkettierungen top
Es bleiben noch sieben Lösungen (rot) übrig.
3 7 42, 3 8 24, 3 9 18, 3 10 15, 3 12 12 , 4 5 20, 4 6 12, 4 8 8, 5 5 10, 6 6 6
3 3 4 12, 3 3 6 6, 3 4 4 6, 4 4 4 4
3 3 3 3 6, 3 3 3 4 4
3 3 3 3 3 3
Dazu gibt es die folgenden acht Parkettierungen.
Es fällt auf, dass das Parkett 3366 hier mit 3636 gekennzeichnet wird. Damit wird ausgedrückt, dass sich an einem Knotenpunkt die Figuren "Dreieck, Sechseck, Dreieck, Sechseck" in dieser Reihenfolge treffen.
In diesem Sinne gibt es für drei Dreiecke und zwei Vierecke die Parkettierungen 3 3 3 4 4 und 3 3 4 3 4.
Diese acht Parkettierungen heißen auch halbreguläre Parkettierungen (Semiregular Tesselation).
Verbindet man die Mittelpunkte der Vielecke, so ergeben sich interessante, neue, duale Parkettierungen.
Weitere Parkettierungen top
Auch die folgenden Muster gehören noch zu den homogenen Parkettierungen.
Zwar treffen die benannten Vielecke an allen Knotenpunkten in der gleichen Anzahl aufeinander, aber nicht in gleicher Reihenfolge. Für 3 3 6 6 z.B. hat man die Reihenfolgen 3 6 3 6 und 3 3 6 6.
Inhomogene Parkettierungen top
Inhomogene Parkettierungen haben zwei Eigenschaften:
((I) Die Figuren sind regelmäßigen Vielecke.
(II) Die Vielecke berühren sich an den Seiten und haben gemeinsame Eckpunkte.
Man verzichtet auf die Eigenschaft (III) von oben.
Es folgen fünf Beispiele:
Es gibt beliebig viele inhomogene Parkettierungen. Z.B. können die drei Beispiele rechts ausgebaut werden.
Es gibt zwei weitere Webseiten zu den Parkettierungen.
Homogene Parkettierungen im Internet top
Deutsch
B. Willimann
Parkettierungen - Einfache Parkettierungen (.pdf-Datei)
Michael Holzapfel
Parkettierung mit regelmäßigen Vielecken
Tadeusz E. Dorozinski
Reguläre und halbreguläre 2D-Netze und Kreislagerungen
ursula damm
Geometrischen Muster bestehen aus regulären Polygonen
Wikipedia
Parkettierung
Englisch
Eric W. Weisstein (Mathworld)
Tiling, Tessellation, Semiregular Tesselation, Demiregular Tessellation, Dual Tesselation
John J. G. Savard
The 2-Regular Tilings
Kevin Mitchell
Constructing Semi-Regular Tilings
Steven Dutch
Uniform Tilings
Wikipedia
Tilings of regular polygons,
Referenzen top
(1) István Reimann: Parkette, geometrisch betrachtet, in "Mathematisches Mosaik", Köln 1977 [ISBN 3-7614-0371-2]
(2) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York / London (1997) [ISBN 0-393-04002-X]
(3) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1961
(4) W.Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, 2.Auflage, Leipzig und Berlin 1910
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© 2004 Jürgen Köller
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